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克萊因瓶是什么？1882年，著名數(shù)學(xué)家菲立克斯·克萊因發(fā)現(xiàn)了后來(lái)以他的名字命名的著名“瓶子”。

克萊因瓶的結(jié)構(gòu)可表述為：一個(gè)瓶子底部有一個(gè)洞，現(xiàn)在延長(zhǎng)瓶子的頸部，并且扭曲地進(jìn)入瓶子內(nèi)部，然后和底部的洞相連接。和我們平時(shí)用來(lái)喝水的杯子不一樣，這個(gè)物體沒(méi)有“邊”，它的表面不會(huì)終結(jié)。它和球面不同 ，一只蒼蠅可以從瓶子的內(nèi)部直接飛到外部而不用穿過(guò)表面，即它沒(méi)有內(nèi)外之分。正是因?yàn)槿绱?，克萊因瓶是永遠(yuǎn)裝不滿(mǎn)水的。

所以它最初的命名是 “Kleinsche Fl?che”，也就是克萊因平面，沒(méi)有內(nèi)部外部之分，但是后來(lái)傳成了克萊因瓶。

克萊因瓶在現(xiàn)實(shí)生活中是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的，現(xiàn)在我們所看到的克萊因瓶其實(shí)都是假貨。

克萊因瓶是一個(gè)三維概念物，所以它只能存在于四維空間，如果我們一定要將它展現(xiàn)在三維空間的話(huà)，只能將就的讓它表現(xiàn)得自己和自己相交一樣，但其實(shí)克萊因瓶的瓶頸是穿過(guò)四維空間再和瓶底圈連的，并不會(huì)穿過(guò)瓶身。

如果把克萊因瓶沿著它的對(duì)稱(chēng)線(xiàn)切下去，竟會(huì)得到兩個(gè)莫比烏斯環(huán)，把一根紙條扭轉(zhuǎn)180°后，兩頭再粘接起來(lái)做成的紙帶圈，具有魔術(shù)般的性質(zhì)。普通紙帶具有兩個(gè)面（即雙側(cè)曲面），一個(gè)正面，一個(gè)反面，兩個(gè)面可以涂成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個(gè)面（即單側(cè)曲面），一只小蟲(chóng)可以爬遍整個(gè)曲面而不必跨過(guò)它的邊緣。這種紙帶被稱(chēng)為“莫比烏斯帶”。

如果莫比烏斯帶能夠完美的展現(xiàn)一個(gè)“二維空間中一維可無(wú)限擴(kuò)展之空間模型”的話(huà)，克萊因瓶只能作為展現(xiàn)一個(gè)“三維空間中二維可無(wú)限擴(kuò)展之空間模型”的參考

什么是四維空間四維空間和四維時(shí)空并不是一個(gè)概念，四維空間我們一般是指標(biāo)準(zhǔn)歐幾里得空間，；四維時(shí)空指的是閔可夫斯基空間概念的一種誤解。人類(lèi)作為三維物體可以理解四維時(shí)空（三個(gè)空間維度和一個(gè)時(shí)間維度）但無(wú)法認(rèn)識(shí)以及存在于四維空間，因?yàn)槿祟?lèi)屬于第三個(gè)空間維度生物。

零維是點(diǎn)，沒(méi)有長(zhǎng)度、寬度及高度。一維是由無(wú)數(shù)的點(diǎn)組成的一條線(xiàn)，只有長(zhǎng)度，沒(méi)有其中的寬度、高度。二維是由無(wú)數(shù)的線(xiàn)組成的面，有長(zhǎng)度、寬度沒(méi)有高度。三維是由無(wú)數(shù)的面組成的體，有長(zhǎng)度、寬度、高度。

因?yàn)槿说难劬χ荒芸吹蕉S，二維生物看對(duì)方只有一條線(xiàn)。人的雙眼看到的是兩個(gè)二維投影，經(jīng)過(guò)大腦處理形成一個(gè)整體的視覺(jué)。也就是說(shuō)人類(lèi)只能看見(jiàn)二維圖像，卻能理解這個(gè)世界是三維的。

因?yàn)闃?gòu)成三維的三元素是長(zhǎng)寬高，即三個(gè)互相垂直的直線(xiàn)，我們單眼看世界的時(shí)候，上下是高，左右是寬，所以看到的世界是二維的。

但是我們眼睛去看這個(gè)世界，產(chǎn)生的畫(huà)面遠(yuǎn)近是不同的，通常是右遠(yuǎn)左近，但不絕對(duì)，而正是這個(gè)距離感的產(chǎn)生，彌補(bǔ)了三維需要的長(zhǎng)，所以我們才能理解這個(gè)世界是三維的。

克萊因瓶只能是四維空間的產(chǎn)物這種瓶子根本沒(méi)有內(nèi)、外之分，無(wú)論從什么地方穿透曲面，到達(dá)之處依然在瓶的外面，所以，它本質(zhì)上就是一個(gè)“有外無(wú)內(nèi)”的古怪東西。

克萊因瓶是不可能嵌入三維空間中的。在三維空間中，克萊因瓶必然跟自身相交，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言說(shuō)，這樣得到的克萊因瓶在三維中的實(shí)現(xiàn)是克萊因瓶在三維空間中的浸入。

就好像二維生物生活在平面，它是沒(méi)有兩個(gè)面的，如果我們用紙做一個(gè)莫比烏斯帶，在我們眼中，螞蟻會(huì)爬過(guò)連成一體的兩個(gè)面，才能回到原點(diǎn)。這時(shí)候螞蟻不用翻越紙的邊緣，它可以爬行的距離增加了一倍。

對(duì)于一只生活在平面內(nèi)部的二維螞蟻，它的空間并沒(méi)有增加，只是被扭曲，然后連接起來(lái)了。

所以，這只二維螞蟻只需要爬行一周，就可以回到原處。

所以，這對(duì)于二維空間的“生物”來(lái)說(shuō)他們不能理解空間被扭曲這一事實(shí)，當(dāng)然對(duì)于我們?nèi)S空間中的人類(lèi)來(lái)說(shuō)，我們同樣不能理解我們的空間正在通過(guò)額外的維度對(duì)接到自身的內(nèi)部。

這就是為什么我們永遠(yuǎn)也造不出來(lái)克萊因瓶。

（1）公主連結(jié)wiki：

閱讀前小知識(shí)高維空間中可以容納低維物體，反之則不行，在高維空間可以看到低緯空間的物體，反之也不行。

理論的東西，未必都能在現(xiàn)實(shí)中找到實(shí)物克萊因瓶是什么東西也許很多讀者還是第一次聽(tīng)說(shuō)，我也是幾年前聽(tīng)說(shuō)了這一神器——當(dāng)時(shí)據(jù)說(shuō)黃河水也裝不滿(mǎn)，我當(dāng)時(shí)不信這個(gè)邪，仔細(xì)研究了一番。

克萊因瓶是德國(guó)數(shù)學(xué)家最早提出來(lái)的，最早叫克萊因平面，是一個(gè)存在于四維空間中的曲面，所以在三維空間中只是一個(gè)理論，是無(wú)法真正造出這么個(gè)東西的。

圖釋?zhuān)喝S空間中克萊因瓶想象圖

現(xiàn)在市面上買(mǎi)的都是假想的克萊因瓶，都是在三維空間中的想象產(chǎn)品，把一個(gè)長(zhǎng)頸瓶的口連接到了瓶子底部，把這模擬成瓶子穿過(guò)四維空間后再和底部相連。

可笑的是當(dāng)時(shí)一個(gè)科普視頻從網(wǎng)上買(mǎi)了個(gè)這種瓶子，放在水盆里從底部灌水，然后由于內(nèi)部空氣壓力頂住灌不滿(mǎn)，解說(shuō)人員竟然說(shuō)克萊因瓶果然是黃河水都灌不滿(mǎn)的。我這里可以負(fù)責(zé)任的講這個(gè)實(shí)驗(yàn)和黃河水沒(méi)有一毛錢(qián)聯(lián)系，就是空氣頂住了，灌不進(jìn)去，拿一根粗的針管，連接一根細(xì)的軟管，我可以把這種仿克萊因瓶注的滿(mǎn)滿(mǎn)的。

類(lèi)似神器還有莫比烏斯帶看著莫比烏斯帶有兩個(gè)面，其實(shí)只有一個(gè)面，看著有兩條邊其實(shí)只有一條邊。將一個(gè)紙條的一端翻轉(zhuǎn)180度，然后和另一端相連，這就構(gòu)成一個(gè)莫比烏斯帶。

本來(lái)一個(gè)二維的紙張，經(jīng)過(guò)這么變換，就不再是二維的物體了，而是三維的了，恰好我們處在三維空間中，可以看到這種物體。把莫比烏斯帶的這條邊黏連起來(lái)就是一個(gè)克萊因曲面，不過(guò)顯然在三維空間中是無(wú)法完成這項(xiàng)工作的，也就是說(shuō)在三維空間是無(wú)法復(fù)原四維或者更高維的物體的。

本問(wèn)題到這里就結(jié)束了，更多科普歡迎關(guān)注本號(hào)！